三角形の性質（中線連結定理）

僕は絵描きです。

そういうわけで、僕には幾何学が必要です。

こういう勉強というのは、表面には表れないで水面下に作用します。

絵を描くにあたっては、この水面下に作用することが長い目で見た場合にとても重要になるものですからね。頭が弱い僕ですが少しずつでも頑張っていこうと思うんです。

それで覚えたいものに三角形の性質があります。

けれど未だに、なんだかよく理解できません。頭が苦しくなってきます。

三角形の性質だけに限らず、絵描きなら遅かれ早かれ幾何学を勉強することになりますよね。というのも、平面に空間を感じられるように描く場合、学問としては幾何学が助けになるからです。

幾何学を極めていくと透視図法で絵を描けるようになる、らしい。

僕は幾何学を極めたわけじゃないのですが、幾何学の学者がルネサンスの頃に発明した透視図法の恩恵を受けています。

透視図法に触れる度、これを発明した人はどれだけ天才なんだろうか、と思う。

ところで、中線連結定理。

これはたぶん小学生か中学生で習うようなことなんでしょうが、遊びほうけてた僕はあんまり覚えてなくて。

それで、

すぐ確認できるようにメモっておこうと思うんです。

中線連結定理
△ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとしたとき、次の定理が成り立ちます。

MとNは各辺の真ん中であるから
ＡＭ：ＭＢ＝ＡＮ：ＮＣ＝１：１

△ABCと△AMNは相似の関係にある（相似であるとするには３つの条件があり、次のどれか一つでも満たせばよい。２組の辺の比とその間の各がそれぞれ等しい。二つの辺が等しい。二つの角が等しい）ことから

ＡＭ：ＡＢ＝１：２

ＡＮ：ＡＣ＝１：２

そこから考えていくとMN：BCも1：2ということが言える。となると

MN=0.5BC

△ABCと△AMNは相似の関係にあるから

ＭＮ//ＢＣ

ということになる。

三角形の真ん中に線を引けば、寸法を測らなくてもその長さは底辺の半分の長さ。

それでいて平行。

ある三角形の底辺の長さが倍の長さになる時には、他の辺の長さが倍になる。

でもこれだけだと、僕にはまだまだ理解できないな。

それで視覚的に別な視点から考えていこうと思う。

MNの延長上に、MN=NDとなる点Dをとります。点Dと点A、点Cを結びます。

点Mと点Cも結んでおきます。
四角形AMCDに注目しましょう。

AN=NC、MN=NDより、対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形AMCDは平行四辺形となります。

なので、

AM=DC

AM // DC

となります。

AM=MBなので、

MB=DC

MB // DC

となり、向かい合う１組の辺が平行かつ等しいので、四角形MBCDも平行四辺形になります。

よって、

MN // BC

MN = BC / 2

ということになります。

中点連結定理の証明は以上です。

おぉ、なんだかようやく分かってきた。